La función interpoladora

Dependiendo de su configuración, EasyDEM le ofrece tres posibles opciones:

TIN Lineal
TIN Cúbico
Krigeado

En lo que sigue se usará la notación C^k; la letra C denota continuidad y k es el orden; por ejemplo, las funciones con continuidad C¹ son continuas hasta la derivada primera. A continuación se describirán brevemente las características más sobresalientes de cada una.

TIN Lineal

La sigla TIN viene del inglés (Triangular Irregular Network) y corresponde a una retícula de puntos irregularmente distribuídos y organizados en triángulos. Estos triángulos son elegidos de forma que:

Todo punto dato es vértice al menos de un triángulo
Todo punto interior al polígono convexo determinado por los datos pertenece a un único triángulo

El término Lineal caracteriza el grado de la función interpoladora. Dentro de cada triángulo, la función interpoladora es localmente un polinomio de primer grado, determinado por los tres vértices y su elevación correspondiente.
La función interpoladora considerada globalmente tiene por lo tanto las siguientes características:

Es continua en los vértices, y a lo largo de los lados de los triángulos.
Las pendientes son constantes dentro de cada triángulo, y no están definidas (o son discontinuas) a lo largo de los lados de los triángulos
No está definida fuera del polígono convexo definido por los datos
Dentro de cada triángulo, la superficie sólo depende de las ordenadas en los vértices; se dice que el interpolante es local.

La opción TIN Lineal es del tipo C⁰.
Como consecuencia, la superficie del terreno puede no parecerce a la realidad; presenta facetas y quiebres abruptos de pendiente. Sin embargo, al aumentar el número de puntos dato (densificando la red de observaciones) estos detalles se van disimulando.
Matemáticamente hablando, puede demostrarse que el modelo basado en TIN converge a cualquier z=f(x,y) continua cuando el número de puntos tiende a infinito disminuyendo a cero la distancia entre puntos.

¿Cuándo conviene utilizar TIN Lineal?
Cuando se trata de terrenos modificados por la mano del hombre (canteras, carreteras, etc.) en que el mismo sigue reglas más o menos definidas, o cuando hay cambios abruptos de la pendiente (barrancas, desfiladeros, etc.)

¿Cuándo NO conviene utilizar TIN Lineal?
Cuando se trata de terrenos naturales, suaves, sin quiebres en la pendiente. En general, no debería utilizarse cuando se requiere una superficie que varíe suavemente.

TIN Cúbico

Esta es la otra alternativa de las ofrecida por EasyDEM que está basada en triángulos. El interpolante es ahora de tipo C¹ (la función es continua pero ahora también lo es la pendiente). Desde el punto de vista matemático comparte alguna similitudes con la función de spline; interpola puntos asegurando una derivada continua, es de tercer grado (de allí el nombre de cúbico), y también tiene alguno de sus problemas.
Al ser de tercer grado, la forma de la superficie entre vértices de un mismo triángulo no es ahora un segmento de recta, sino un tramo de parábola cúbica. No existen regiones planas.
En este caso, la función interpoladora considerada globalmente tiene las siguientes características:

La función y su pendiente son continuas en todo el dominio
No está definida fuera del polígono convexo definido por los datos
Dentro de cada triángulo, la superficie depende ahora no sólo de las ordenadas en los vértices, sino de las ordenadas de todos los puntos de la red; se dice que el interpolante es local, pero con coeficientes globales.

¿Cuándo conviene utilizar TIN Cúbico?
Cuando se trata de terrenos naturales, suaves, sin quiebres significativos en la pendiente.

¿Cuándo NO conviene utilizar TIN Cúbico?
Cuando se trata de terrenos modificados por la mano del hombre (canteras, carreteras, etc.) o naturales (barrancas, desfiladeros, etc.) en que hay cambios abruptos de la pendiente.

Krigeado

Este método tiene base estadística, y se diferencia de los anteriores en que no está basado en triángulos.
Si se supone que las elevaciones del terreno son una realización de un campo aleatorio bidimensional con correlación espacial, y se asumen hipótesis de ergodicidad y homogeneidad, entonces es posible estimar la función de correlación (que se denominará variograma). Por ejemplo: si al arrojar un dado sale el número 3, entonces este valor es una realización de una variable aleatoria discreta de probabilidad uniforme. El krigeado asume que el terreno concreto de que se dispone es sólo uno de los posibles que resultan de experimentos con el mismo campo aleatorio.
Si se dispone del variograma y de un conjunto de puntos dato es posible interpolar a puntos arbitrariamente localizados preservando la correlación espacial. Simultáneamente, y esto es lo que distingue al krigeado, se obtiene una estimación del error puntual cometido.
La parte más engorrosa del proceso es estimar el variograma apropiado. EasyDEM es capaz de estimar ese variograma en forma automática, dado un conjunto suficientemente grande de puntos dato. El variograma se caracteriza por su tipo y dos parámetros que son números reales positivos: el alcance y la meseta.
El primero tiene que ver con la dimensión horizontal; valores mayores indican superficies más suaves. Si se le va a estimar utilizando los datos disponibles estos deberán estar suficientemente separados, cubriendo una amplia región. El caso límite de alcance nulo caracteriza a procesos estadísticos en que no hay correlación en el espacio; no es corriente en el caso de MDE.
La meseta está vinculada con la variabilidad (varianza) de la variable interpolada; en este caso, la elevación. Valores mayores indican variaciones más abruptas de la misma, y el caso límite de meseta nula correspondería a una superficie de nivel constante.
La interpolación mediante krigeado produce una superficie del tipo C¹ para la elevación. EasyDEM produce además la estimación del error y de la pendiente del terreno, como se describirá en el capítulo correspondiente.

¿Cuándo conviene utilizar Krigeado?
Cuando la superficie es suave, se requieren las pendientes o se requieren estimaciones del error cometido. Es apropiado también cuando se desea refinar una campaña de medidas de forma de identificar las áreas donde se cometió un error excesivo.

¿Cuándo NO conviene utilizar Krigeado?

Cuando el terreno es discontinuo, o tiene pendientes discontinuas
Cuando no se dispone de suficiente información para estimar el variograma. Desafortunadamente no hay reglas explícitas para el número mínimo de puntos, sino sólo criterios.
- Los datos deben estar bien distribuídos, con separaciones mutuas que vayan desde un rango pequeño hasta dos o tres veces el alcance esperado.
- No deben existir direcciones de variabilidad preferencial en el terreno (isotropía)
- Los errores en la medida de la elevación deben ser sensiblemente menores a la raíz cuadrada de la meseta esperada.

Si desea saber más...

http://www.statistik.tuwien.ac.at/public/dutt/vorles/geost_03/geo.html

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